Matemática básica Ejemplos

$\frac{4}{a^{2} - 8 a + 15} - \frac{3}{a^{2} - 10 a + 25}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $a^{2} - 8 a + 15$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 5, - 3$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{a^{2} - 10 a + 25}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{a^{2} - 10 a + 5^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 5$ .

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{4}{(a - 5) (a - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 5}{a - 5}$ .

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} \cdot \frac{a - 5}{a - 5} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{3}{{(a - 5)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{4}{(a - 5) (a - 3)} \cdot \frac{a - 5}{a - 5} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a - 3) {(a - 5)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{4}{(a - 5) (a - 3)}$ por $\frac{a - 5}{a - 5}$ .

$\frac{4 (a - 5)}{(a - 5) (a - 3) (a - 5)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Paso 4.2

Eleva $a - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{1} (a - 5) (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Paso 4.3

Eleva $a - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{1} {(a - 5)}^{1} (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{1 + 1} (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)} - \frac{3}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{3}{{(a - 5)}^{2}}$ por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{4 (a - 5)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)} - \frac{3 (a - 3)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (a - 5) - 3 (a - 3)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 a + 4 \cdot - 5 - 3 (a - 3)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{4 a - 20 - 3 (a - 3)}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 a - 20 - 3 a - 3 \cdot - 3}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{4 a - 20 - 3 a + 9}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

Paso 6.5

Resta $3 a$ de $4 a$ .

$\frac{a - 20 + 9}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$

Paso 6.6

Suma $- 20$ y $9$ .

$\frac{a - 11}{{(a - 5)}^{2} (a - 3)}$